WYZNACZNIK

(mat.) liczba przyporządkowana macierzy kwadratowej obrazek stopnia n; w. z macierzy A, oznaczony det A, dany jest wzorem: obrazek , gdzie obrazek oznacza sumowanie n! składników, a1, ..., an - permutację ciągu 1, 2, ..., n, n! - ilość permutacji tego ciągu, I_g - liczbę inwersji (przestawień) w permutacji g; w każdym składniku sumy we wzorze określającym w. występuje dokładnie jeden element z każdego wiersza i z każdej kolumny macierzy A; np. wyznacznik z macierzy drugiego stopnia - obrazek , a w. z macierzy trzeciego stopnia - obrazek ; w. można inaczej przedstawić w postaci tzw. rozwinięcia Laplace'a: det A = a_k1A_k1+ a_k2A_k2+ ... a_knA_kn, gdzie a_k1, ... , a_kn - elementy k-tego wiersza pomnożone są kolejno przez tzw. dopełnienia algebraiczne A_k1, ... , A_kn tych elementów (dopełnienie algebraiczne elementu a_ki to liczba A_ki = (-1)^k+iM_ki, M_ki jest tzw. podwyznacznikiem otrzymanym z wyznacznika detA przez skreślenie k-tego wiersza i i-tej kolumny przez co obliczanie w. stopnia n sprowadza się do obliczania w. stopni niższych; w. mają następujące ważne własności: 1. jeśli w w. któryś wiersz lub kolumna składają się z samych zer to w. jest równy zeru, 2. zamiana wierszy na kolumny nie zmienia w., 3. zamiana miejscami dwu sąsiednich wierszy lub kolumn powoduje zmianę znaku w., 4. w., w którym dwa wiersze lub kolumny są równe lub proporcjonalne, jest równy zero, 5. gdy cały wiersz lub kolumnę pomnożymy przez liczbę c, to pomnożeniu przez c ulega cały w., 6. det(AB)=det Adet B; w. używa się głównie w teorii równań liniowych.