PIERŚCIEŃ

(mat.) jedna z podstawowych struktur algebraicznych; p. to zbiór P, na którego elementach określone są dwa działania - tzw. dodawanie (+) i mnożenie (), spełniające aksjomaty:

Reklama

1. a + (b + c) = (a + b) + c - łączność dodawania,

2. a (b c) = (a b) c - łączność mnożenia,

3. a +b = b + a - przemienność dodawania,

4. a (b + c) = a b + a c - rozdzielność mnożenia względem dodawania,

5. dla każdej pary elementów x, y zbioru P istnieje taki element t, że x + t = y (t nazywa się różnicą elementów x - y); p. posiada element neutralny 0 dla dodawania (tzw. zero), taki że dla dowolnego elementu p. x: x + 0 = 0 + x = x; jeśli mnożenie w p. jest przemienne, to p. jest przemienny; jeśli iloczyn dwu elementów niezerowych jest równy zeru (a b = 0 dla a ≠ 0 i b ≠ 0), to a i b nazywamy dzielnikami zera; jeśli istnieje w p. element neutralny mnożenia 1 (nazywamy go jedynką), to dla każdego elementu p.: 1 x = x 1 = x; przykładami p. są: 1) zbiór liczb całkowitych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem; 2) zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem; 3) zbiór macierzy obrazek o elementach zespolonych wraz z dodawaniem i mnożeniem tych macierzy; w przykładzie 3) elementem zerowym jest macierz obrazek , elementem jednostkowym obrazek , a dzielnikami zera elementy oraz .