(mat.) dowolny zbiór X, w którym określono rodzinę podzbiorów T o następujących własnościach: 1. zbiór pusty i cały zbiór X należą do T, 2. przecięcie (część wspólna) skończonej liczby elementów zbioru T też należy do T, 3. suma dowolnej liczby zbiorów należących do T też należy do T. Wtedy zbiór X razem z rodziną podzbiorów T nazywamy p.t., a samą rodzinę T nazywamy topologią na zbiorze X. Podzbiory X należące do T nazywamy zbiorami otwartymi (względem T); nie jest to jedyny sposób wprowadzenia p.t. Znane są równoważne określenia p.t. oparte na pojęciach otoczenia punktu (F. Hausdorff), granicy ciągu punktów (M. Fréchet), domknięcia zbioru (np. K. Kuratowski). Oprócz zbiorów otwartych podstawowymi pojęciami teorii p.t. są zbiory domknięte (które są dopełnieniami zbiorów otwartych do całej przestrzeni X), pojęcie otoczenia punktu (elementu X), a także określenie granicy ciągu punktów; w tym samym zbiorze X można często określić topologię na wiele istotnie różnych sposobów, otrzymując w ten sposób różne p.t. Pojęcie p.t. można dalej zawężać wprowadzając bardziej specjalne ale też często dużo ważniejsze dla zastosowań przestrzenie, jak przestrzenie metryczne (z określoną odległością między punktami), przestrzenie topologiczne liniowe (przestrzenie topologiczne z określoną strukturą przestrzeni wektorowych), przestrzenie Banacha, Hilberta itd.; teoria p.t. znalazła rozliczne zastosowania prawie we wszystkich działach współczesnej matematyki, np. geometrii różniczkowej, teorii równań różniczkowych, teorii miary i rachunku prawdopodobieństwa, rachunku wariacyjnego, a także w fizyce i zastosowaniach technicznych.
- OŚRODKOWA PRZESTRZEŃ, (mat.) topologiczna...
- ROZMAITOŚĆ, podstawowe pojęcie...
- RETRAKCJA, (łac. mat.) ciągła...